Second degré - Ex 43

Question

Indice

  • Lorsqu'une proposition est VRAIE, il faut essayer de justifier à l'aide de propriétés connues.

  • Lorsqu'une proposition est FAUSSE, on peut trouver un contre-exemple.

  • La réciproque d'une proposition de type \(A\Rightarrow B\) est la proposition \(B\Rightarrow A\).

Solution

Question 1.

  • a. \(\color{red}\text{VRAI}\)

    Si \(\Delta>0\) alors la parabole coupe deux fois l'axe des abscisses en \(x_1\) et \(x_2\).

    • Si la parabole est tournée vers le haut, alors \(f(x)>0\) sur \(]-\infty ;x_1[\cup]x_2 ;+\infty[\).

    • Si la parabole est tournée vers le bas, alors \(f(x)>0\) sur \(]x_1 ;x_2[\).

  • b. \(\color{red}\text{FAUX}\)

    Pour \(f(x)=x^2+x+1\) on a \(\Delta=\color{blue}-3<0\)

    Comme \(a=1>0\), la parabole est tournée vers le haut donc \(\color{blue}f(x)>0\) sur \(\mathbb R\).

  • c. \(\color{red}\text{VRAI}\)

    Si \(c=0\) alors \(f(x)=ax^2+bx\)

    Alors \({\color{blue}f(0)}=a\times0^2+b\times0\color{blue}=0\) ce qui veut dire que 0 est bien une racine de \(f\).

  • d. \(\color{red}\text{FAUX}\)

    Pour \(f(x)=x^2+x+2\) on a \(a=1\), \(b=1\) et \(c=2\), donc \(\color{blue}-a-b+c=0\).

    Or \({\color{blue}f(-1)}=(-1)^2-1+2=2\color{blue}\neq 0\)

    Donc \(-1\) n'est pas une racine de \(f\).

  • e. \(\color{red}\text{VRAI}\)

    Si \(ac<0\) alors \(-4ac>0\) et \(b^2-4ac>b^2\geqslant 0\).

    On en déduit que \(\color{blue}\Delta>0\).

    L'équation \(f(x)=0\) a alors deux solutions réelles distinctes.

Solution

Question 2.

  • a. \(\color{OliveGreen}\underline{\text{Si il existe au moins un nombre réel }x\text{ tel que }f(x)>0\text{, alors }\Delta>0}\)

    \(\color{red}\text{FAUX}\)

    Pour \(f(x)=x^2+x+1\) on a \(\color{blue}f(0)=1>0\), il existe donc au moins un réel \(x\) pour lequel \(f(x)>0\).

    Pourtant \(\Delta=1^2-4\times1\times1=\color{blue}-3<0\)

  • b. \(\color{OliveGreen}\underline{\text{Si }f(x)<0\text{ pour tout nombre réel }x\text{, alors }\Delta<0}\)

    \(\color{red}\text{VRAI}\)

    Si \(f(x)<0\) pour tout réel \(x\), alors la courbe représentative de \(f\) ne coupe jamais l'axe des abscisses.

    \(f\) n'a aucune racine réelle, donc \(\color{blue}\Delta<0\).

  • c. \(\color{OliveGreen}\underline{\text{Si 0 est une racine de }f\text{, alors }c=0}\)

    \(\color{red}\text{VRAI}\)

    Si 0 est une racine de \(f\) alors \(f(0)=0\Leftrightarrow a\times0^2+b\times0+c=0\Leftrightarrow \color{blue}c=0\)

  • d. \(\color{OliveGreen}\underline{\text{Si } -1\text{ est une racine de }f\text{, alors }-a-b+c=0}\)

    \(\color{red}\text{FAUX}\)

    Si \(f(x)=x^2+2x+1\) alors \(\color{blue}f(-1)=0\) c'est-à-dire \(-1\) est une racine de \(f\).

    Or \(a=1\), \(b=2\) et \(c=1\) donc \({\color{blue}-a-b+c}=-1-2+1=2\color{blue}\neq 0\)

  • e. \(\color{OliveGreen}\underline{\text{Si  l'équation }f(x)=0\text{ admet deux solutions réelles distinctes, alors }ac<0}\)

    \(\color{red}\text{FAUX}\)

    Si \(f(x)=2x^2+4x+1\) alors \(\Delta=4^2-4\times2\times1=8\color{blue}>0\)

    Donc l'équation \(f(x)=0\) admet deux solutions réelles distinctes.

    Pourtant \(\color{blue}ac=2\times1=2>0\).