Second degré - Ex 10
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=(x-3)^2-(3x-2)^2\)
Question
Question 1 :
Déterminer une forme factorisée de \(f(x)\).
Déterminer la forme développée et réduite de \(f(x)\).
Déterminer la forme canonique de \(f(x)\).
Solution
Question 1.1.
On peut remarquer que l'écriture de \(f(x)\) est sous la forme \(A^2-B^2\) avec \(A=x-3\) et \(B=3x-2\)
On utilise alors l'identité remarquable \(\colorbox{cyan}{$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$}\)
On obtient \(f(x)=\Big((x-3)+(3x-2)\Big)\Big((x-3)-(3x-2)\Big)=\Big(4x-5\Big)\Big(x-3-3x+2\Big)=\boxed{\color{magenta}(4x-5)(-2x-1)}\)
Question 1.2.
\(f(x)=(x^2-6x+9)-(9x^2-12x+4)=x^2-6x+9-9x^2+12x-4=\boxed{\color{blue}-8x^2+6x+5}\)
Question 1.3.
A l'aide de la forme développée de \(f\) on obtient :
\(f(x)=-8x^2+6x+5=-8\Big(x^2-\frac{3}{4}x\Big)+5=-8\Bigg(\Big(x-\frac{3}{8}\Big)^2-\frac{9}{64}\Bigg)+5=-8\Big(x-\frac{3}{8}\Big)^2+\frac{9}{8}+5=\boxed{\color{OliveGreen}-8\Big(x-\frac{3}{8}\Big)^2+\frac{49}{8}}\)
Question
Question 2 : Répondre aux questions suivantes en choisissant la forme de \(f(x)\) qui paraît la plus adaptée pour résoudre le problème posé.
Calculer les images par \(f\) de \(0\) ; \(5\) ; \(\dfrac 3 8\) et \(1+\sqrt{2}\).
Déterminer l'extremum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Résoudre l'équation \(f(x)=0\).
Résoudre l'équation \(f(x)=5\).
Tracer l'allure de la courbe représentative de \(f\).
Solution
Question 2.1.
Image de ... | Forme choisie | Résultat |
\(0\) | \(\color{blue}\text{développée}\) | \(f(0)=\color{red}5\) |
\(5\) | \(\color{blue}\text{développée}\) | \(f(5)=-8\times 25 + 6\times 5+5=-200+30+5=\color{red}-165\) |
\(\frac{3}{8}\) | \(\color{OliveGreen}\text{canonique}\) | \(f\left(\frac{3}{8}\right)=\color{red}\frac{49}{8}\) |
\(1+\sqrt{2}\) | \(\color{blue}\text{développée}\) | \(f\left(1+\sqrt{2}\right)=-8\left(1+\sqrt{2}\right)^2+6\left(1+\sqrt{2}\right)+5=-8\left(1+2\sqrt{2}+2\right)+6+6\sqrt{2}+5=\color{red}-13-10\sqrt{2}\) |
Question 2.2.
L'extremum est obtenu grâce à la forme \(\color{OliveGreen}\text{canonique}\).
Il s'agit ici d'un \(\color{red}\text{maximum}\) car \(a=-8<0\)
Ses coordonnées sont \(\color{red}\left(\frac{3}{8}\, ;\frac{49}{8}\right)\)
Question 2.3.
On résout \(f(x)=0\) grâce à la forme \(\color{magenta}\text{factorisée}\).
\(f(x)=0\Leftrightarrow (4x-5)(-2x-1)=0\Leftrightarrow 4x-5=0\text{ ou } -2x-1=0\Leftrightarrow \color{red} x=\frac{5}{4}\text{ ou } x=-\frac{1}{2}\)
Question 2.4.
On résout \(f(x)=5\) grâce à la forme \(\color{blue}\text{développée}\).
\(f(x)=5\Leftrightarrow -8x^2+6x+5=5\Leftrightarrow -8x^2+6x=0\Leftrightarrow x(-8x+6)=0 \Leftrightarrow x=0\text{ ou } -8x+6=0 \Leftrightarrow \color{red} x=0\text{ ou } x=\frac{3}{4}\)
Question 2.5.
Grâce à toutes les informations obtenues dans les questions précédentes, on peut tracer la courbe avec une bonne précision :
