Exercices - Signe du trinôme

Le membre de gauche est sous forme factorisée, on utilise la règle du produit nul :

\((3x-5)(x+14)=0\Leftrightarrow 3x-5=0\) ou \(x+14=0\Leftrightarrow \color{red}x=\frac{5}{3}\) ou \(\color{red}x=-14\)

\(3x^2-12\) est un trinôme incomplet, il n'est donc pas nécessaire de calculer son discriminant pour résoudre l'équation.

\(3x^2-12=0\Leftrightarrow 3x^2=12\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow \color{red} x=2\) ou \(\color{red}x=-2\)

\(3x^2+3x-126=0\Leftrightarrow x^2+x-42=0\) (on divise toute l'égalité par \(3\) pour réduire les coefficients)

Le discriminant de \(x^2+x-42\) vaut \(1^2-4\times1\times(-42)=1+168=169>0\).

L'équation a donc deux solutions :

• \(x_1=\frac{-1-\sqrt{169}}{2\times1}=\frac{-1-13}{2}=\color{red}-7\)

• \(x_2=\frac{-1+\sqrt{169}}{2\times1}=\frac{-1+13}{2}=\color{red}6\)

On remarque le facteur \(x+3\) dans chacun des membres de l'égalité, on peut alors essayer de factoriser pour utiliser la règle du produit nul.

\(\begin{array}{rcl}(x+3)(7x-1)=x+3&\Leftrightarrow& {\color{blue}(x+3)}(7x-1)-{\color{blue}(x+3)}=0\\&\Leftrightarrow& {\color{blue}(x+3)}(7x-2)=0\\&\Leftrightarrow& x+3=0\text{ ou }7x-2=0\\&\Leftrightarrow& {\color{red}x=-3}\text{ ou }{\color{red}x=\frac{2}{7}}\end{array}\)

\(\frac{1}{3}x^2+x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow 2x^2+6x-3=0\) (on multiplie par \(6\) pour avoir des coefficients entiers)

Le discriminant de \(2x^2+6x-3\) vaut \(6^2-4\times2\times(-3)=36+24=60>0\)

L'équation a donc deux solutions :

• \(x_1=\frac{-6-\sqrt{60}}{2\times2}=\frac{-6-2\sqrt{15}}{4}=\color{red}\frac{-3-\sqrt{15}}{2}\)

• \(x_2=\frac{-6+\sqrt{60}}{2\times2}=\frac{-6+2\sqrt{15}}{4}=\color{red}\frac{-3+\sqrt{15}}{2}\)

\(x^3-5x^2+3x\) est un polynôme de degré \(3\). Il faut essayer de factoriser son expression pour réduire le degré.

Le facteur commun est \(x\) :

\(x^3-5x^2+3x=0\Leftrightarrow x(x^2-5x+3)=0\Leftrightarrow {\color{red}x_1=0}\text{ ou }x^2-5x+3=0\)

Le discriminant de \(x^2-5x+3\) est égal à \((-5)^2-4\times1\times3=25-12=13>0\).

On obtient deux solutions supplémentaires :

• \(x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{13}}{2\times1}=\color{red}\frac{5-\sqrt{13}}{2}\)

• \(x_3=\frac{-(-5)+\sqrt{13}}{2\times1}=\color{red}\frac{5+\sqrt{13}}{2}\)

\(10k^2-49k+51\) a pour discriminant \((-49)^2-4\times10\times51=2401-2040=361>0\).

L'équation a donc deux solutions :

• \(k_1=\frac{-(-49)-\sqrt{361}}{2\times10}=\frac{49-19}{20}=\color{red}\frac{3}{2}\)

• \(k_2=\frac{-(-49)+\sqrt{361}}{2\times10}=\frac{49+19}{20}=\color{red}\frac{17}{5}\)

\(\begin{array}{rcll}{\color{blue}(4x-7)(x-5)}+{\color{magenta}(x-3)^2}=(x+2)^2&\Leftrightarrow &{\color{blue}4x^2-20x-7x+35}+{\color{magenta}x^2-6x+9}=x^2+4x+4&\\&\Leftrightarrow&4x^2-37x+40=0\end{array}\)

\(4x^2-37x+40\) a pour discriminant \((-37)^2-4\times4\times40=1369-640=729>0\).

L'équation a deux solutions :

\(x_1=\frac{-(-37)-\sqrt{729}}{2\times4}=\frac{37-27}{8}=\color{red}\frac{5}{4}\)

\(x_2=\frac{-(-37)+\sqrt{729}}{2\times4}=\frac{37+27}{8}=\color{red}8\)