Exercices - Signe du trinôme

• \(2x^2+5x-3\) a pour discriminant \(\Delta=5^2-4\times2\times(-3)\color{red}=49>0\).

  Le trinôme a donc 2 racines réelles :

  • \(x_1=\frac{-5-\sqrt{49}}{2\times2}=\frac{-5-7}{4}\color{red}=-3\)

  • \(x_2=\frac{-5+\sqrt{49}}{2\times2}=\frac{-5+7}{4}\color{red}=\frac12\)

  D'autre part, on a \(a=2>0\), la parabole est donc tournée vers le haut. Le signe de \(f(x)\) est donc :

  

• \(-x^2+x-2\) a pour discriminant \(\Delta=1^2-4\times(-1)\times(-2)\color{red}=-7<0\).

  Le trinôme n'a donc aucune racine réelle.

  D'autre part, on a \(a=-1<0\), la parabole est donc tournée vers le bas. Le signe de \(g(x)\) est donc :

  

D'après les tableaux de signes précédents :

• \(f(x)\geqslant0\) a pour solutions \(\color{red}\boxed{x\in\Big]-\infty ;-3\Big]\cup\Big[\frac12 ;+\infty\Big[}\)

• \(g(x)<0\) a pour solutions \(\color{red}\boxed{x\in\mathbb R=]-\infty ;+\infty[}\)

• \(\frac12x^2-6x+18\) a pour discriminant \(\Delta=(-6)^2-4\times\frac12\times18\color{red}=0\).

  Le trinôme a donc 1 racine réelle :

  • \(x_S=\frac{6}{2\times\frac12}\color{red}=6\)

  D'autre part, on a \(a=\frac12>0\), la parabole est donc tournée vers le haut. Le signe de \(f(x)\) est donc :

  

• \(-2x^2+8x-6\) a pour discriminant \(\Delta=8^2-4\times(-2)\times(-6)\color{red}=16>0\).

  Le trinôme a donc 2 racines réelles :

  • \(x_1=\frac{-8-\sqrt{16}}{2\times(-2)}=\frac{-8-4}{-4}\color{red}=3\)

  • \(x_2=\frac{-8+\sqrt{16}}{2\times(-2)}=\frac{-8+4}{-4}\color{red}=1\)

  D'autre part, on a \(a=-2<0\), la parabole est donc tournée vers le bas. Le signe de \(g(x)\) est donc :

  

D'après les tableaux de signes précédents :

• \(f(x)\geqslant0\) a pour solutions \(\color{red}\boxed{x\in\mathbb R=]-\infty ;+\infty[}\)

• \(g(x)<0\) a pour solutions \(\color{red}\boxed{x\in\big]-\infty ;1\big[\cup\big]3 ;+\infty\big[}\)

• \(-3x^2+7x+4\) a pour discriminant \(\Delta=7^2-4\times(-3)\times4\color{red}=97>0\).

  Le trinôme a donc 2 racines réelles :

  • \(x_1=\frac{-7-\sqrt{97}}{2\times(-3)}=\frac{-7-\sqrt{97}}{-6}\color{red}=\frac{7+\sqrt{97}}{6}\)

  • \(x_2=\frac{-7+\sqrt{97}}{2\times(-3)}=\frac{-7+\sqrt{97}}{-6}\color{red}=\frac{7-\sqrt{97}}{6}\)

  D'autre part, on a \(a=-3<0\), la parabole est donc tournée vers le bas. Le signe de \(f(x)\) est donc :

  

• \(7x^2-2x+1\) a pour discriminant \(\Delta=(-2)^2-4\times7\times1\color{red}=-24<0\).

  Le trinôme n'a donc aucune racine réelle.

  D'autre part, on a \(a=7>0\), la parabole est donc tournée vers le haut. Le signe de \(g(x)\) est donc :

  

D'après les tableaux de signes précédents :

• \(f(x)\geqslant0\) a pour solutions \(\color{red}\boxed{x\in\left[\frac{7-\sqrt{97}}{6} ;\frac{7+\sqrt{97}}{6}\right]}\)

• \(g(x)<0\) n'a \(\color{red}\boxed{\text{pas de solution}}\).

• \(\frac13x^2-\frac56x+2\) a pour discriminant \(\Delta=\left(-\frac56\right)^2-4\times\frac13\times2\color{red}=-\frac{71}{36}<0\).

  Le trinôme n'a donc aucune racine réelle.

  D'autre part, on a \(a=\frac13>0\), la parabole est donc tournée vers le haut. Le signe de \(f(x)\) est donc :

  

• \(x^2-\frac47=0\Leftrightarrow x^2=\frac47\)

  Cette équation a deux solutions réelles :

  • \(x_1=\sqrt{\frac47}=\frac{2}{\sqrt{7}}\color{red}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)

  • \(x_2=-\sqrt{\frac47}\color{red}=-\frac{2\sqrt{7}}{7}\)

  D'autre part, on a \(a=1>0\), la parabole est donc tournée vers le haut. Le signe de \(g(x)\) est donc :

  

D'après les tableaux de signes précédents :

• \(f(x)\geqslant0\) a pour solutions \(\color{red}\boxed{x\in\mathbb R=]-\infty ;+\infty[}\)

• \(g(x)<0\) a pour solutions \(\color{red}\boxed{x\in\left]-\frac{2\sqrt{7}}{7} ;\frac{2\sqrt{7}}{7}\right[}\)