Exercices - Signe du trinôme

• Pour \(m=1\)

  • \(x^2+6x+5\) a pour discriminant \(\Delta=6^2-4\times1\times5\color{red}=16>0\)

    Le trinôme a donc deux racines réelles :

    • \(x_1=\frac{-6-\sqrt{16}}{2\times1}=\frac{-6-4}{2}\color{red}=-5\)

    • \(x_2=\frac{-6+\sqrt{16}}{2\times1}=\frac{-6+4}{2}\color{red}=-1\)

  • Comme \(m=1>0\), la parabole est tournée vers le haut, donc :

    

  On a alors \(x^2+6x+5<0\) pour \(\color{red}\boxed{x\in]-5 ;-1[}\)

• Pour \(m=2\)

  • \(2x^2+6x+5\) a pour discriminant \(\Delta=6^2-4\times2\times5\color{red}=-4<0\)

    Le trinôme n'a donc aucune racine réelle.

  • Comme \(m=2>0\), la parabole est tournée vers le haut, donc :

    

  L'inéquation \(2x^2+6x+5<0\) n'a donc \(\color{red}\boxed{\text{aucune solution}}\)

Pour que l'inéquation n'admette aucune solution, il faut que le trinôme soit toujours strictement positif.

On doit donc avoir : \(\color{blue}\Delta<0\) et \(\color{red}\underline{m>0}\).

• \(\Delta=6^2-4\times m\times5=36-20m\)

• \({\color{blue}\Delta<0}\Leftrightarrow 36-20m<0\Leftrightarrow \color{red}\underline{\frac95<m}\)

Les valeurs de \(m\) qui conviennent sont donc celles de \(\color{red}\boxed{\left]\frac95 ;+\infty\right[}\)